Μαθηματικός Προγραμματισμός

Το μάθημα εξετάζει τη θεωρία και τους αλγορίθμους του μαθηματικού προγραμματισμού, καθώς και τη σχέση τους με άλλα πεδία (όπως Θεωρία Παιγνίων). Συγκεκριμμένα εξετάζεται η βελτιστοποίηση γραμικών προβλημάτων, η Δυϊκή Θεωρία, οι βασικοί αλγόριθμοι Γραμμικού Προγραμματισμού, βασικές έννοιες Μη-Γραμμικού Προγραμματισμού και Ακέραιου Προγραμματισμού, η μορφοποίηση προβλημάτων, ο Δυναμικός Προγραμματισμός και η σχέση του Γραμμικού Προγραμματισμού με τη Θεωρία Παιγνίων. Σκοπός είναι η κατανόηση των παραπάνω αλλά και της συνδυασμένης εφαρμογής τους σε προβλήματα βελτιστοποίησης όπως αυτά προκύπτουν από πρακτικές εφαρμογές. Επιμέρους στόχοι είναι η εμβάθυνση ως προς μαθηματικές δομές και ιδιότητες κατηγοριών προβλημάτων, η χρήση αλγορίθμων Μαθηματικού Προγραμματισμού αλλά και ο σχεδιασμός παραλλαγών τους για ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων και η μορφοποίηση και επίλυση σχετικών πρακτικών προβλημάτων.

Σκοπός του μαθήματος είναι η εμβάθυνση στη θεωρία και τις εφαρμογές του Μαθηματικού Προγραμματισμού. Επιμέρους στόχοι είναι οι παρακάτω.

I. Εμβάθυνση ως προς μαθηματικές δομές και ιδιότητες κατηγοριών προβλημάτων (γραμμικά, μη-γραμμικά, προβλήματα δυναμικού προγραμματισμού, προβλήματα με ακέραιες μεταβλητές)
II. Χρήση αλγορίθμων και μεθόδων Μαθηματικού Προγραμματισμού για την επίλυση προβλημάτων αλλά και σχεδιασμός παραλλαγών τους για ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων
III. Μορφοποίηση και επίλυση πρακτικών προβλημάτων με μεθόδους Μαθηματικού Προγραμματισμού.
Ευρύτερχο στόχο αποτελεί είναι η κατανόηση των παραπάνω αλλά και της συνδυασμένης εφαρμογής τους σε προβλήματα βελτιστοποίησης όπως αυτά προκύπτουν από πρακτικές εφαρμογές.

Το περιεχόμενο του μαθήματος περιλαμβάνει τις παρακάτω ενότητες:

• Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας, παραμετρική επίλυση γραμμικών εξισώσεων
• Αλγόριθμος Simplex, γενική περιγραφή, γεωμετρική ερμηνεία και ειδικές περιπτώσεις
• Ανάλυση ευαισθησίας και οικονομική ερμηνεία
• Αναγκαία συνθήκη ελαχίστου (Karush-Kuhn-Tucker condition), διατύπωση και απόδειξη
• Δυϊκή θεωρία, διατύπωση δυϊκού προβλήματος
• Εισαγωγή στο μη-γραμμικό προγραμματισμό
• Ειδικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, το πρόβλημα της μεταφοράς και η δικτυακή μορφή τυο αλγορίθμου Simplex
• Μορφοποίηση προβλημάτων, εφαρμογές Μαθηματικού Προγραμματισμού
• Ακέραιος Προγραμματισμός, μορφοποίηση, μέθοδοι επίλυσης
• Γραμμικός Προγραμματισμός και Θεωρία Παιγνίων
• Δυναμικός προγραμματισμός, μορφοποίηση, επίλυση και εφαρμογές.