3513 Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα

    Μάθημα Επιλογής, Η’ εξάμηνο, 6 μονάδες ECTS

    Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Παρασκευάς Βασσάλος

    URL: https://eclass.aueb.gr/courses/INF223/

    Περιεχόμενο

    Βασικές έννοιες Γραμμικής Άλγεβρας, εσωτερικό γινόμενο, διανυσματικοί χώροι, προβολές, νόρμες συναρτήσεων / διανυσμάτων / πινάκων. Ειδικοί πίνακες και Τανυστές (tensors). Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. Οι κλασικές μέθοδοι Jacobi, Gauss Seidel και SOR. Βασικά στοιχεία θεωρίας προσέγγισης συναρτήσεων. Το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων. Παρογοντοποίηση πινάκων και τελεστών (Οι μέθοδοι QR, SVD και εφαρμογές τους. Προσεγγίσεις χαμηλής βαθμίδος (low rank approximation). Αριθμητικές μέθοδοι εύρεσης ιδιοτιμών/διοδιανυσμάτων πίνακα. Αριθμητική βελτιστοποίηση. 

    Μαθησιακά Αποτελέσματα

    Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

    • Να επιλέγουν την καταλληλότερη μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας.
    • Να αναλύουν το κόστος πράξεων, την ταχύτητα αλλά και την ευστάθεια ενός αριθμητικού αλγορίθμου.
    • Να χρησιμοποιούν τις βασικές επαναληπτικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών συστημάτων.
    • Να περιγράφουν τις βασικές μεθόδους πινάκων για την επίλυση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων.
    • Να εξηγούν και να περιγράφουν τις ιδιότητες των μεθόδων SVD και QR.
    • Να χρησιμοποιούν τις βασικές μεθόδους για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα.
    • Να κατανοούν τις φασματικές μεθόδους για την ανάλυση και συμπίεση δεδομένων.
    • Να υλοποιούν αποτελεσματικά τις παραπάνω αριθμητικές μεθόδους στις γλώσσες MATLAB και Octave.

    Προαπαιτούμενα Μαθήματα

    Για να εγγραφεί στο μάθημα, ο φοιτητής πρέπει να έχει εξεταστεί επιτυχώς σε προηγούμενο εξάμηνο είτε στο μάθημα «Μαθηματικά ΙΙ» είτε στο μάθημα «Υπολογιστικά Μαθημαιτκά». Όμως, συνιστάται στους φοιτητές να έχουν εξεταστεί επιτυχώς σε προηγούμενο εξάμηνο και στα δύο αυτά μαθήματα.

    Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

    • Numerical Linear Algebra and Applications, B. Datta, SIAM, 2010.
    • Numerical Methods in Scientific Computing Volume II, A. Bjorck, G.Dahlquist, SIAM, 2010
    • Applied Numerical Linear Algebra, J. Demmel, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997.
    • Numerical Linear Algebra, L. Trefethen, D. Bau, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics,1997.

    Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι

    Διαλέξεις (2 διαλέξεις των 2 ωρών εβδομαδιαίως), φροντιστήρια (2 διαλέξεις των 2 ωρών εβδομαδιαίως), ομαδικές υπολογιστικές ασκήσεις και ατομικές ασκήσεις επί της θεωρίας.

    Μέθοδοι Αξιολόγησης/Βαθμολόγησης

    Ο τελική γραπτή εξέταση βαθμολογείται έως 7.5 μονάδες. Εφόσον πληρούται το κριτήριο της βάσης (3.5 στα 7) τότε οι ομαδικές υπολογιστικές ασκήσεις αποφέρουν επιπλέον έως 2.5 μονάδες. Επιπλέον μια μονάδα (bonus) αποφέρει η άρτια επίλυση όλων των ασκήσεων εμπέδωσης της θεωρίας που δίνονται σε εβδομαδιαία βάση. Εναλλακτικά, της τελικής γραπτής εξέτασης δίνονται 3 πρόοδοι κατά την διάρκεια του εξαμήνου οι οποίες συνολικά αποφέρουν έως 7.5 μονάδες με την προϋπόθεση ότι σε τουλάχιστον 2 από αυτές, ο εξεταζόμενος έχει λάβει τουλάχιστον τη βάση (1.25 στις 2.5 μονάδες).